Математическая задача – это требование осуществить некоторую математическую деятельность в указанных условиях. По характеру различают задачи на вычисление, на построение, на доказательство, на исследование, на моделирование. По роли, которую играют учебные задачи, их делят на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные.

Репродуктивные задачи ставят целью воспользоваться теми знаниями, которые были приобретены раннее. Ошибочно ставить методической целью решения задачи – получение правильного ответа. Задачи решаются для того, чтобы лучше усвоить теорию, научиться ее применять, чтобы приобрести навыки, а главное - развить инициативу и способность самостоятельно мыслить. Каждая решенная задача - маленькая ступенька длинной лестницы овладения математикой. Каждая задача имеет свою методическую цель. Поэтому при решении задачи главная забота учителя заключается в том, чтобы выжать из нее всю возможную пользу для математического развития ученика. Решение задач в классе под руководством учителя имеет другое назначение, чем самостоятельное решение. Учитель должен обратить внимание учеников на поучительные выводы, которых они могли бы не заметить при самостоятельном решении, извлечь уроки на будущее, выяснить, что было бы при некоторых изменениях условия, и т.д.

Ошибки учащихся в процессе решения задач не вредны, а полезны. Ошибка (речь не о случайных и технических ошибках) – симптом непонимания. По ошибкам учитель определяет, чего не понял ученик и должен не просто исправить ошибку, а добиться того, чтобы ученик признал ее. Для этого надо понять причину заблуждения ученика. Не надо загонять ошибки внутрь, пусть ученики их делают. Ошибки редко бывают индивидуальными. Опытный учитель знает. Что из года в год в каждом разделе математики ученики делают одни и те же ошибки. Это дает учителю повод делать нужные разъяснения.

Выходит, что не следует ставить целью решение задач быстро и безошибочно. Задачи надо решать не торопясь и глубоко их разбирая.

Задачи репродуктивного характера в некоторой мере помогают систематизировать пройденное. Однако, укрепляя память, они не в полной мере развивают мышление.

Проблемные задачи помогают лучше разобраться в изученном, систематизируют пройденное. При этом они приучают сравнивать возможные пути решения.

Проблемные задачи не предназначены для массового школьного преподавания, а для воспитания особо талантливых школьников. Они пробуждают у части школьников интерес к математике и способствуют созреванию их таланта, который они могут применить на математических олимпиадах. Развитие у детей интереса к математике, сообразительности, умение рассуждать самостоятельно прививает занимательная математика. Приведу несколько примеров

Пример № 1. Сколько различных «слов», состоящих не менее чем из четырех разных букв, можно образовать из букв слова ученик ?

Решение. Слово ученик состоит из шести различных букв. Четырехбуквенных слов можно составить = четырехбуквенных слов, = пятибуквенных и = шестибуквенных слов. По правилу суммы всего можно составить слов, состоящих не менее чем из четырех букв.

Пример № 2. В школьное самоуправление избрали 9 человек. Из них надо выбрать председателя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать ?

Решение. Из множества, содержащего 9 различных элементов, выбираются 2 элемента. Порядок существен (например, выборы - председатель, - заместитель и - председатель, - заместитель, состоящие из одних и тех же элементов, , различны. Элементы не могут повторяться. Следовательно, необходимо найти число размещений без повторений из девяти элементов по два элемента в каждом. Значит, секретаря и его заместителя можно выбрать способами

Пример 3. На книжной полке произвольно расставлены 4 книги по истории и 3 книги по обществознанию. Какова вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом ?

Решение. Испытание состоит в том, что 7 книг ставятся на полку. Так как они ставятся на полку произвольно, то все исходы испытания равновероятны, кроме того, они несовместимы. Семь книг на полке могут быть упорядочены (7!) способами. Следовательно, число всех исходов испытания n =7 . Событию А, состоящему в том, что книги по одному о тому же предмету окажутся рядом, благоприятствует исходов испытания. Действительно комплект книг по истории может быть упорядочен 4! способами , и после каждого такого расположения книги по обществознанию могут быть упорядочены 3! способами. Кроме того , сами комплекты книг могут быть упорядочены двумя способами. Таким образом, вероятность события А равна

Каждая из этих задач имеет признаки занимательного содержания, нестандартности. Использование занимательных элементов на любой стадии обучения не возбраняется, но нельзя возлагать все надежды только на них полагая, что это единственный путь вовлечения детей в математику. Методика есть наука о разумной мере.